فعالیت الف و ب محاسبه و بررسی حد تابع رادیکالی حسابان یازدهم
در شکل روبه‌رو نمودار تابع $f(x) = \sqrt{x + ۱}$ رسم شده است.
الف) با توجه به نمودار، مقدار حد $\lim_{x \to ۳} \sqrt{x + ۱}$ را بیابید.
ب) آیا تساوی $\lim_{x \to ۳} \sqrt{x + ۱} = \sqrt{\lim_{x \to ۳} (x + ۱)}$ برقرار است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف و ب صفحه ۱۳۶ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت مفهوم **قضیه حد تابع رادیکالی** را بررسی می‌کند. برای توابع رادیکالی، حد رادیکال برابر با رادیکال حد است، به شرطی که حد زیر رادیکال نامنفی باشد. 🧠
---
### الف) محاسبه حد $\lim_{x \to ۳} \sqrt{x + ۱}$
**۱. از روی نمودار**:
نمودار $\mathbf{f(x) = \sqrt{x + ۱}}$ در نقطه $\mathbf{x=۳}$ پیوسته است (منحنی بدون حفره یا پرش است).
* **نزدیک شدن به $x=۳$**: وقتی $x$ از چپ و راست به ۳ نزدیک می‌شود، نمودار به ارتفاع $\mathbf{y = ۲}$ نزدیک می‌شود (زیرا $\sqrt{۳ + ۱} = \sqrt{۴} = ۲$).
$$\mathbf{\lim_{x \to ۳} \sqrt{x + ۱} = ۲}$$
**۲. از طریق جایگذاری**: (تأیید)
$$\lim_{x \to ۳} \sqrt{x + ۱} = \sqrt{۳ + ۱} = \sqrt{۴} = ۲$$
---
### ب) آیا تساوی $\lim_{x \to ۳} \sqrt{x + ۱} = \sqrt{\lim_{x \to ۳} (x + ۱)}$ برقرار است؟
**تساوی**: $\mathbf{\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}}$ (قضیه حد رادیکال)
**۱. بررسی سمت چپ**: $\lim_{x \to ۳} \sqrt{x + ۱} = \mathbf{۲}$
**۲. بررسی سمت راست**:
$$\sqrt{\lim_{x \to ۳} (x + ۱)} = \sqrt{۳ + ۱} = \sqrt{۴} = \mathbf{۲}$$
**۳. مقایسه**: $\mathbf{۲ = ۲}$.
**نتیجه**: $\mathbf{بله}$، تساوی برقرار است.
**دلیل**: این تساوی برقرار است چون **قضیه حد رادیکال** برقرار است، به شرطی که **حد زیر رادیکال نامنفی باشد**:
$$\mathbf{\lim_{x \to ۳} (x + ۱) = ۴ > ۰}$$
